Möbiusbandet

Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje! Den kan konstrueras genom att en av ändarna på en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan
ändarna sätts ihop.

"A mathematician confided
That a Möbius band is one-sided,

And you'll get quite a laugh,

If you cut one in half, <
For it stays in one piece when divided"

Oberoende av varandra beskrev August Ferdinand Möbius och Johann Benedict Listing möbiusbandets egenskaper i mitten av 1800-talet.
Anm.: August Ferdinand Möbius är en avlägsen släkting till Martin Luther.
Ekvationer, som beskriver möbiusbandets egenskaper, ställdes upp för 75 år sedan, men det är först nu (2007), som två forskare vid University
College London, Eugene Starostin och Gert van der Heijden, har hittat lösningen. Läs deras sammanfattning.
Läs mera om möbiusbandets matematik.

 

Laboration         

Möbiusbandet i litteraturen, konsten och filmen
Mobiusbandet i religionen Möbiusbandet i tekniska sammanhang
Möbiusbandet som frimärksmotiv Logotyper



Laboration

En laboration med uppgifter, som ger många aha-upplevelser och där man inte behöver några speciella matematikkunskaper.

Materiel: A4-papper, tejp, sax, linjal och penna.

Uppg. 1:

a) Klipp till en pappersremsa, som är 3 cm bred och 30 cm lång. Skriv bokstaven X på framsidan och bokstaven Y på baksidan av rektangeln.
b) Vrid remsan ett halvt varv, innan ändarna tejpas ihop!
Nu går det att sammanbinda punkterna X och Y utan att passera ytans kant.
  Detta är den egenskap, som är typisk för ett möbiusband! (se fig.)
Uppgifter, som eleverna får besvara:
1) Hur många sidor har ett möbiusband? Svar: En
2) Hur många kanter har det?
Svar: En
3) Hur många varv måste du gå innan du når den punkt du startade från? Svar: Två

Uppg. 2:

a) Klipp till en ny pappersremsa, som är 3 cm bred och 30 cm lång.
b) Rita en mittlinje.           
c) Vrid remsan ett halvt varv, innan ändarna tejpas ihop.
d) Klipp upp bandet längs den utritade mittlinjen.
e) Vad blev resultatet? Svar

Låt oss titta på några varianter på detta tema.

Uppg. 3:

a) Klipp till två nya pappersremsor, som är 3 cm breda och 30 cm långa. Tejpa sedan samman dem, så att du får en 60 cm lång remsa. Vrid remsan ett helt varv, innan ändarna tejpas ihop. Klipp längs mittlinjen.
Anm.: Vid mer än ett halvt varvs vridning, blir det enklare att utföra instruktionen, om man har en längre remsa.
b) Blev du överraskad? Svar

Uppg. 4:

a) Klipp till en ny remsa men med två linjer utritade (se fig. nedan)
b) Vrid remsan ett halvt varv, innan ändarna tejpas ihop och klipp sedan längs linjerna. Försök att gissa vad som händer. Svar

Uppg. 5:

  Upprepa försöket i uppg. 4 med ett undantag: du skall den här gången vrida remsan ett helt varv, innan du tejpar ändarna. Helst bör den här remsan vara 60 cm lång och 3 cm bred. Än en gång blir resultatet överraskande, eller hur?  Svar

Uppg. 6:

a) Klipp till två nya pappersremsor, som är 3 cm breda och 30 cm långa. Tejpa sedan samman dem, så att du får en 60 cm lång remsa.
b) Vrid remsan ett och ett halvt varv, innan ändarna tejpas ihop.
c) Är detta ett möbiusband, dvs. har det bara en yta? Svar

Uppg. 7:

a) Klipp till två nya pappersremsor, som är 3 cm breda och 30 cm långa. Tejpa sedan samman dem, så att du får en 60 cm lång remsa.
b) Vrid remsan två varv, innan ändarna tejpas ihop.
c) Är detta ett möbiusband, dvs. har det bara en yta? Svar
   
  Slutsats: Om ena ändan av remsan vrids ett halvt eller ett och ett halvt varv innan ändarna tejpas ihop, får man ett möbiusband.
Allmänt gäller att om ena ändan av remsan vrids ett udda antal halva varv, får man ett möbiusband!
Om ena ändan av remsan däremot vrids ett jämt antal halva varv, får man inte ett möbiusband!


Uppg. 8 (Extrauppgift):

a) Klipp till två nya pappersremsor, som är 3 cm breda och 30 cm långa.
Markera de två remsorna enligt fig. nedan. Lägg remsan A-B ovanpå remsan C-D.
b) För samman ändarna till en ögla. Håll ihop ändarna A och C och vrid dem ett halvt varv och tejpa sedan, så att A ligger mot D och B mot C. (Se fig. nedan)

Anm.: Bokstaven C är streckad för att markera att den egentligen är skriven på andra sidan av remsan.
c) Undersök (genom att rita en mittlinje) om denna dubbla ögla är ett möbiusband.
Du kan då konstatera att så är fallet!
d) Nu skall du skilja på de två öglorna. Resultatet blir en stor ögla (se fig.).

Är den också ett möbiusband? Svar


Möbiusbandet ....

i litteraturen

Det finns flera science fictionböcker, som handlar om möbiusbandet.

Ett sådant exempel är Time trip on moebius strip.

Handling i korthet:
Sexton berömda historiska personer har försvunnit och förmodas vara döda. I själva verket finns de i en annan dimension än våra vanliga dimensioner.
Huvudpersoner kommer till denna dimension via ett möbiusband.


Tillbaka
 


i konsten
 

"We Have Died and Gone to Mobius Heaven"                      Träsnitt av M. C. Escher.
av Teja Krasek & Cliff Pickover.

 

"Endless ribbon" av M. Bill 1935.                               ”Immortality” av J. Robinson.
Den första skulpturen med möbiusmotiv. 

Tillbaka

i filmen
Det finns flera science fictionfilmer, t.ex. den här från 2007.


Tillbaka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i  religionen

"Like the Möbius strip, the inside and outside of God is the same."


Frank Fiore writes:
"I discuss with Christopher the values we must hold for the future and why we are here. I hoped that the book may act as both sage words for the reader and a valuable guide to Christopher as he grows up."


Tillbaka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

som frimärksmotiv


Motivet visar en skulptur av Max Gill (i Zürich)
Tillbaka  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Logotyper
Möbiusbandet användes även i logotyper.

Ex:  
Konsums gamla symbol Symbolen för återvinning
Caltrate, ett varumärke för calciumtillskott

Tillbaka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Möbiusbandet i tekniska sammanhang

Förr användes ibland en rem i form av ett möbiusband, eftersom man på så sätt fick
en jämnare fördelning av slitaget och en större livslängd. På en "vanlig" rem fick man ju det huvudsakliga slitaget på insidan. 1957 fick B. F. Goodrich Company patent på ett transportband av möbiustyp.
Moderna remmar/transportband är dock inte möiusband utan består av en utsida och en insida med flera lager av olika material, vilket ger en större slitstyrka.
Andra praktiska tillämpningar av möbiusbandet:
1) Band till bandspelare (fördubblade inspelningstiden).
2) Färgband till skrivmaskiner (med en större livslängd).

Tillbaka